El área del círculo.

 

Problemas de probabilidad 3 de 3: La paradoja del cumpleaños.

 Un problema sorprendente por el inesperado resultado. Una vez más un desafío a la intuición.

Problema 3: La paradoja del cumpleaños.

¿Cual es el número mínimo de personas para que dos celebren el cumpleaños el mismo día del año con una probabilidad mayor de 0.999?

Teniendo en cuenta que vamos a considerar que el año tiene 365 días, y que el día en el que han nacido dos personas son sucesos independientes, la intuición nos dice que van a tener que ser muchas. Por el Principio del Palomar, sabemos que si hay 366 personas o más la probabilidad es de 1. Pero, ¿cuánto me tengo que acercar a esa cantidad?

Para calcular esta probabilidad, vamos a calcular la probabilidad del suceso contrario, esto es, si hay n personas ninguna cumple años el mismo dia. Si A_i=”no cumple años el mismo día que las anteriores personas seleccionadas” para i=1,…,n. Por tanto queremos calcular:

P(A₁∩A₂∩...∩A_n)=P(A₁)·P(A₂)·...·P(A_n), por ser el día del cumpleaños de una persona independiente del resto de personas.

P(A₁∩A₂∩...∩A_n)=P(A₁)·P(A₂)·...·P(A_n)=365/365·364/365·...·(365-n+1)/365

Por tanto la probabilidad de que al menos dos personas cumplan años el mismo dia es 1-365/365·364/365·...·(365-n+1)/365 , si damos valores se tiene que:

Con 22 personas la probabilidad es ya de 0,476, con 23 supera 0,5, con 52 personas es de 0,978 y con 70 personas se supera ya la probabilidad 0.999 (exactamente 0.999159…), esto es, en 999 reuniones de 70 personas de cada 1000 reuniones de 70 personas se tiene que hay al menos dos que cumplen años el mismo dia.

Adjunto una tabla donde se ve la evolución de la probabilidad en función del número de personas que hay en la reunión:

Con este problema terminamos la serie de tres artículos para tres problemas notables de probabilidad. Espero os gusten.

Problemas de probabilidad 2 de 3: El problema de Monty Hall

 Es sin duda un desafío a la intuición, un problema perfecto por lo fácil de su planteamiento y la solución.

Problema 2: El problema de Monty Hall.

Supón que estás en un concurso, y se te ofrece escoger entre tres puertas: detrás de una de ellas hay un coche, y detrás de las otras, cabras. Escoges una puerta, digamos la nº1, y el presentador, que sabe lo que hay detrás de las puertas, abre otra, digamos la nº3, que contiene una cabra. Entonces te pregunta: "¿No prefieres escoger la nº2?". ¿Es mejor para ti cambiar tu elección o no?

El problema de Monty Hall o paradoja de Monty Hall es un problema matemático de probabilidad basado en el concurso televisivo estadounidense Trato hecho (Let's Make a Deal). El problema fue planteado y resuelto por el matématico Steve Selvin en la revista American Statistician en 1975 y posteriormente popularizado por Marilyn vos Savant en Parade Magazine en 1990. El problema fue bautizado con el nombre del presentador de dicho concurso, Monty Hall. (Fuente: Wikipedia)

Veamos como se resuelve: Sea A=”El concursante elige la puerta con el premio antes de cambiar” y B=”El concursante elige la puerta con el premio tras cambiar"

Es claro que P(B|A)=0 ya que A∩B=Φ al igual que ocurre con P(B^c|A^c)=0 pues A^c∩B^c=Φ y como P(B^c|A)=1-P(B|A)=1

y P(B|A^c)=1-P(B^c|A^c)=1. Para finalizar, se tiene que como P(A)=1/3 y P(B)=P(A)·P(B|A)+P(A^c)·P(B|A^c)=1/3·0+2/3·1=2/3 si aplicamos el teorema de la Probabilidad Total, está claro que es más ventajoso cambiar de puerta.