lunes, 3 de mayo de 2021

Problemas de probabilidad 3 de 3: La paradoja del cumpleaños.

 Un problema sorprendente por el inesperado resultado. Una vez más un desafío a la intuición.

Problema 3: La paradoja del cumpleaños.

¿Cual es el número mínimo de personas para que dos celebren el cumpleaños el mismo día del año con una probabilidad mayor de 0.999?

Teniendo en cuenta que vamos a considerar que el año tiene 365 días, y que el día en el que han nacido dos personas son sucesos independientes, la intuición nos dice que van a tener que ser muchas. Por el Principio del Palomar, sabemos que si hay 366 personas o más la probabilidad es de 1. Pero, ¿cuánto me tengo que acercar a esa cantidad?

Para calcular esta probabilidad, vamos a calcular la probabilidad del suceso contrario, esto es, si hay n personas ninguna cumple años el mismo dia. Si Ai=”no cumple años el mismo día que las anteriores personas seleccionadas” para i=1,…,n. Por tanto queremos calcular:

P(A1A2...An)=P(A1)·P(A2)·...·P(An), por ser el día del cumpleaños de una persona independiente del resto de personas.

P(A1∩A2∩...∩An)=P(A1)·P(A2)·...·P(An)=365/365·364/365·...·(365-n+1)/365

Por tanto la probabilidad de que al menos dos personas cumplan años el mismo dia es 1-365/365·364/365·...·(365-n+1)/365 , si damos valores se tiene que:

Con 22 personas la probabilidad es ya de 0,476, con 23 supera 0,5, con 52 personas es de 0,978 y con 70 personas se supera ya la probabilidad 0.999 (exactamente 0.999159…), esto es, en 999 reuniones de 70 personas de cada 1000 reuniones de 70 personas se tiene que hay al menos dos que cumplen años el mismo dia.

Adjunto una tabla donde se ve la evolución de la probabilidad en función del número de personas que hay en la reunión:


Con este problema terminamos la serie de tres artículos para tres problemas notables de probabilidad. Espero os gusten.


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