Una
de las partes del temario que más me gusta impartir en el bloque de
“Estadística y Probabilidad” es la probabilidad condicionada. Y
es que no me negaréis que no tiene problemas y resultados
sorprendentes.
En los siguientes tres artículos, os voy a contar tres problemas que
a mi me gusta contar a mis alumnos / as y con los que pretendo
acercarlos al mundo de la estadística y probabilidad.
Tengo
que decir, que podéis encontrar multitud de explicaciones (seguro
mejores que las que yo voy a realizar) en otros blog, libros, etc. pues son
problemas muy conocidos y tratados por todos los matemáticos y
matemáticas del mundo.
Problema
1: ¿Qué es más fácil que nos toque la primitiva o que nos caiga
un rayo?
Según
podemos encontrar en la página del tiempo
:
“Que
te caiga un rayo encima todos sabemos que es poco probable. Sin
embargo, depende de muchos factores. No es lo mismo que en cuanto
oigamos truenos nos pongamos a cobijo o que desafiemos a las
tormentas bañándonos en el mar o dando un paseo por el monte.
Expertos
han llegado a la conclusión de que las probabilidades de que te
caiga un rayo es de 1 de cada 3.000.000.”
Pues
bien, resulta que el juego de la primitiva consiste en: “La Lotería
Primitiva es un juego de azar regulado por Loterías
y Apuestas del Estado (LAE) que consiste en elegir 6 números
diferentes entre 1 y 49, con el objetivo de acertar la Combinación
Ganadora en el sorteo correspondiente, formada por 7 bolas, de las
cuales 6 se extraen de un bombo con 49 números (modalidad comúnmente
conocida como 6/49) y 1 se extrae de otro bombo con 10 bolas (con
números que van desde 0 a 9) y correspondiente con el «reintegro».
También se extrae una bola extra como número complementario.
Veamos
cual es la probabilidad de que acertemos los 6 números. Para ello
voy a notar Ai = “Que en la i-ésima extracción de una
bola se obtenga un número de los que yo he rellenado”, y esto para
i=1,2,3,4,5,6.
Se
tiene que los sucesos son dependientes ya que cada vez que extraigo
una bola en el bombo no queda el mismo número de bolas (casos
posibles) y tampoco bolas con los números que nos interesa (casos
favorables), por lo que
P(A1∩A2∩A3∩A4∩A5∩A6)=P(A1)·P(A2|A1)·P(A3|A1∩A2)·P(A4|A1∩A2∩A3)·P(A5|A1∩A2∩A3∩A4)·P(A6|A1∩A2∩A3∩A4∩A5)
,
esto es, para la primera extracción hay 6 casos favorables y 49
posibles, para la segunda extracción hay 5 casos favorables y 48
posibles,…,hasta la sexta extracción que hay 1 caso favorable y 44
posibles:
P(A1∩A2∩A3∩A4∩A5∩A6)=6/49 · 5/48 · 4/47 ·3/46 · 2/45 · 1/44 = 7.151123842·10-8
En
el caso de “El EuroMillones” es un juego similar a La Primitiva
que se celebra cada martes y cada viernes en el que hay que marcar un
mínimo de 5 números y 2 estrellas.
Si
queremos calcular la probabilidad en este caso se tiene que la
probabilidad es P=5/50·4/49·3/
48·3/47·2/46·1/45·2/12·1/11=1.589138632·10-10
Teniendo
en cuenta que 1/3000000=3.3333333·10-7 es claramente más probable que nos caiga un rayo a que
nos toque alguno de estos juegos.