Problemas de probabilidad 1 de 3: La probabilidad de la primitiva.

 Una de las partes del temario que más me gusta impartir en el bloque de “Estadística y Probabilidad” es la probabilidad condicionada. Y es que no me negaréis que no tiene problemas y resultados sorprendentes.

En los siguientes tres artículos, os voy a contar tres problemas que a mi me gusta contar a mis alumnos / as y con los que pretendo acercarlos al mundo de la estadística y probabilidad.

Tengo que decir, que podéis encontrar multitud de explicaciones (seguro mejores que las que yo voy a realizar) en otros blog, libros, etc. pues son problemas muy conocidos y tratados por todos los matemáticos y matemáticas del mundo.

Problema 1: ¿Qué es más fácil que nos toque la primitiva o que nos caiga un rayo?

Según podemos encontrar en la página del tiempo :

“Que te caiga un rayo encima todos sabemos que es poco probable. Sin embargo, depende de muchos factores. No es lo mismo que en cuanto oigamos truenos nos pongamos a cobijo o que desafiemos a las tormentas bañándonos en el mar o dando un paseo por el monte.

Expertos han llegado a la conclusión de que las probabilidades de que te caiga un rayo es de 1 de cada 3.000.000.”

Pues bien, resulta que el juego de la primitiva consiste en: “La Lotería Primitiva es un juego de azar regulado por Loterías y Apuestas del Estado (LAE) que consiste en elegir 6 números diferentes entre 1 y 49, con el objetivo de acertar la Combinación Ganadora en el sorteo correspondiente, formada por 7 bolas, de las cuales 6 se extraen de un bombo con 49 números (modalidad comúnmente conocida como 6/49) y 1 se extrae de otro bombo con 10 bolas (con números que van desde 0 a 9) y correspondiente con el «reintegro». También se extrae una bola extra como número complementario.

Veamos cual es la probabilidad de que acertemos los 6 números. Para ello voy a notar A_i = “Que en la i-ésima extracción de una bola se obtenga un número de los que yo he rellenado”, y esto para i=1,2,3,4,5,6.

Se tiene que los sucesos son dependientes ya que cada vez que extraigo una bola en el bombo no queda el mismo número de bolas (casos posibles) y tampoco bolas con los números que nos interesa (casos favorables), por lo que

P(A₁∩A₂∩A₃∩A₄∩A₅∩A₆)=P(A₁)·P(A₂|A₁)·P(A₃|A₁∩A₂)·P(A₄|A₁∩A₂∩A₃)·P(A₅|A₁∩A₂∩A₃∩A₄)·P(A₆|A₁∩A₂∩A₃∩A₄∩A₅)

, esto es, para la primera extracción hay 6 casos favorables y 49 posibles, para la segunda extracción hay 5 casos favorables y 48 posibles,…,hasta la sexta extracción que hay 1 caso favorable y 44 posibles:

P(A₁∩A₂∩A₃∩A₄∩A₅∩A₆)=6/49 · 5/48 · 4/47 ·3/46 · 2/45 · 1/44 = 7.151123842·10^-8

En el caso de “El EuroMillones” es un juego similar a La Primitiva que se celebra cada martes y cada viernes en el que hay que marcar un mínimo de 5 números y 2 estrellas.

Si queremos calcular la probabilidad en este caso se tiene que la probabilidad es P=5/50·4/49·3/ 48·3/47·2/46·1/45·2/12·1/11=1.589138632·10^-10

Teniendo en cuenta que 1/3000000=3.3333333·10^-7 es claramente más probable que nos caiga un rayo a que nos toque alguno de estos juegos.